MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Una vez que se han calculado las medidas de tendencia central para un conjunto de datos, es necesario contar con otra medida estadística, que indique un comportamiento adicional del conjunto de datos, puesto que la media, la mediana y la moda, solo indican valores centrales de la distribución.

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variación, indican qué tan alejados o dispersos se encuentran los datos, con respecto a sí  mismos o con respecto a la medida del conjunto de datos.

Algunas de las medidas de dispersión más usadas son: el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar o típica.

VARIANZA:

La varianza se define como el promedio de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media. Su valor indica la forma en que están distribuidos los datos con respecto a la media. Se representa mediante:

(aquí va el símbolo de varianza) = ∑ (x₁ – x )^{2  /} n

Donde:

x₁ : Es el valor del i-ésimo dato

x :  es la media del conjunto de datos (recuerden que la X  lleva su rayita jeje)

n:  es el número total de datos.

Ejemplo:

Determina el valor de la varianza para el siguiente conjunto de datos

a)      12           25           8             15           5             18           26           14           9             10

Primero se determina la media:

x= ∑^x_{1 /  n}

x= 12+25+8+15+5+18+26+14+9+10 / 10

_{= 14.2}

La varianza es:

_{(aquí va el símbolo de varianza) = ∑ (x1 – x )^{2  /} n}

(simbolo de varianza)=(12-14.2)²+(25-14.2)²+(8-14.2)²+(15-14.2)²+(5-14.2)²+(18-14.2)²+(26-14.2)²+(14-14.2)²+(9-14.2)²+(10-14.2)²

10

(simbolo de varianza)

= 443.6 / 10

(simbolo de varianza) = 44.36

VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando el conjunto de datos se tiene agrupado en una tabla de distribución de frecuencia, la varianza se obtiene en forma aproximada por:

(símbolo de varianza)  = = ∑f_i (M_i – x )²

                                                                n

donde:

f_{i = es el valor de la frecuencia del i-ésimo} intervalo         

M_{1= es el valor de la marca de clase del i-ésimo intervalo}

x= _{es la media del conjunto de datos  (la x lleva su rayita arriba)}

n= _{es el número total de datos  (n=∑} f_{i )}

Se utiliza la marca de clase, por considerar que su valor es el representativo de los datos que se encuentran en cada intervalo.

DETERMINE LA VARIANZA  para el siguiente conjunto de datos.

INTERVALO	FRECUENCIA
0 – 50	7
50 - 100	15
100 - 150	28
150 - 200	22
200 - 250	11
250 - 300	13
300 - 350	9
350 - 400	25
400 - 450	10

Obtenemos el valor de la media:

x = ∑ f_i M_{i         (la x con su marca de media)}

                   n

Agregamos las columnas M_i   f_i M_i

INTERVALO	FRECUENCIA	Mi	fi Mi
0 – 50	7	25	175
50 - 100	15	75	1125
100 - 150	28	125	3500
150 - 200	22	175	3850
200 - 250	11	225	2475
250 - 300	13	275	3575
300 - 350	9	325	6175
350 - 400	25	375	9375
400 - 450	10	425	4250
∑	150	TOTAL	34500

x= 34500 / 150

x=230

Ahora se agregan las columnas M_i  - x   y    (M_i – x)^{2      (las X, con su marca de media)}

INTERVALO	FRECUENCIA	M1	fi M1	Mi  - x	(Mi – x)2
0 – 50	7	25	175	-205	42025
50 - 100	15	75	1125	-155	24025
100 - 150	28	125	3500	-105	11025
150 - 200	22	175	3850	-55	3025
200 - 250	11	225	2475	-5	25
250 - 300	13	275	3575	45	2025
300 - 350	9	325	6175	95	9025
350 - 400	25	375	9375	145	21025
400 - 450	10	425	4250	195	38025
∑	150	TOTAL	34500

El valor de la varianza es:

(signo de varianza)= ∑f_i (M₁ – x )^{2   (la X con su marca de media)}

                                                     n

(signo de varianza) =2133750 / 150

(signo de varianza) = 14 225

Que al sacarle la raíz cuadrada, se obtiene la DESVIACIÓN ESTÁNDAR de: 119.2686

Distribución de Frecuencias (Estadística)

Salve Grupo!

Pese a que estoy etiquetando por primera vez el tema de Tablas de Frecuencia Simple, este tema ya lo empezamos a manejar con el ejemplo de las preferencias de sus especialidades. Ahora bien falta saber que la FRECUENCIA, es el número de elementos que contiene cada clase o categoría en un conjunto de datos.

Hasta la fecha hemos tabajado con datos cualitativos; asi que vamos a pasar a la parte CUANTITATIVA, por lo que cuando los datos corresponden a los valores CUANTITATIVOS, estos se agrupan de la misma forma en varias CLASES o grupos, llamados INTERVALOS, o también INTERVALOS DE CLASE, se tabula y se obtiene la frecuencia de cada intervalo. (hasta aqui también no debe haber problema)

Pero...

(ta ca ta cannnnnnnnnnnnn)

Vamos ahora a tocar nuevas palabritas, nuevos valores. Comencemos con LIMITES DE CLASE

No, no se refiere a las reglas dentro del salón; sino que cada intervalo contiene todos los elementos comprendidos entre sus extremos, incluyendo estos. A los extremos de un intervalo se les llama LIMITES DE CLASE, y cada intervalo contiene deos limites de clase llamados LIMITE INFERIOR y LIMITE SUPERIOR, mismos que corresponden a su extremo inicial y final de cada intervalo respectivamente.

NO EXISTE UN MÉTODO GENERAL PARA DETERMINATR EL NÚMERO DE INTERVALOS QUE CONTIENE UN DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA, LOS EXPERTOS RECOMIENDAN QUE DEBE SER 6 Ó MAS INTERVALOS, PERO MENOS DE 16, ESTO ES: LA TABLA DEBE CONTENER DE 6 A 15 INTERVALOS.

Bien, ahora veremos palabras nuevas como RANGO Y VARIACIÓN. Para ello debemos saber como se constuye una TABLA O DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMPLE.

1. Se determina el rango del conjunto de datos, mediante:

Rango= Dato Mayor-Dato Menor

2. Se determina la variación que se presenta en los datos, esto es, la diferencia entre los datos diferentes más cercanos, por ejemplo: si se tienen los datos  3,8,6,5, 7,7,4, su variación es igual a 1

Como vamos a empezar con variables cuantitativas, nuestros ejemplos tendran ya ese tipo de valores. En clase podremos ir sustituyendo este ejemplo con otras lineas de investigación

Sigo con los ejemplos para VARIACIÓN:

Para los datos 100, 110, 125, 135, 130, 120, 125 SU VARIACIÓN es de 5

Para 10, 90, 80, 60, 30, 40, 60, 50, 20 SU VARIACIÓN es de 10

Para 5.7, 8.1, 6.4, 7.6, 6.5, 9.2, 7.7, 5.6, SU VARIACIÓN es de 0.1

3. Toca al estudiante elegir entre el número de intervalos con los cuales desea trabajar o en el tamaño que deben tener los intervalos con los cuales desea trabajar o el tamaño que deben tener los intervalos que se van a formar, se puede optar por cualquiera de los siguientes criterios:

a) Cuando se asigna el número de intervalos, se obtiene el tamaño que tendrán los intervalos de la fórmula

El tamaño obtenido, cuando no resulta entero, se puede aproximar a un número mayor quer no cambie el número de intervalos y que su manejo sea más sencillo.

b) Si se asigna el tamaño del intervalo, se obtiene el número de intervalos que va a contener la tabla, me diante la fórmula

Si el resultado no es un número entero, se considera el entero siguiente, para el número de intervalos.

4. Se construyen los intervalos con su respectivo tamaño.

a) Si al obtener el número de intervalos o el tamaño de los intervalos resultó exacta la división, el límite inferior del primer intervalo coincide con el valor menor del conjunto de datos y el limite superior del último, debe coincidir con el dato mayor del conjunto de datos.

b) Si el tamaño o el número de intervalos, se aproximó a un valor mayor, el límite inferior del primer intervalo o el límite superior del último intervalo no necesariamente deben coincidir con el  valor menor y mayor del conjunto de datos.

5. Una vez establecidos los intervalos, se efectua la tabulación.

6. Por último, se obtiene la frecuencia de cada intervalo de clase.

SE HA UTILIZADO EL TÉRMINO, TAMAÑO DE UN INTERVALO, EL CUAL CUANDO SE TIENEN LOSM LÍMITES DE CLASE, ÉSTE SE OBTIENE MEDIANTE:

TAMAÑO DEL INTERVALO= LIMITE SUPERIOR-LIMITE INFERIOR+VARIACIÓN

EJERCICIO (PRUEBA PARA QUE LA INTENTEN, Y VEAMOS SUS ERRORES Y ACIERTOS EN CLASE, PARA DESPUÉS REFORZARLO CON  OTRO EJERCICIO Y BUSCAR UN PUNTO DE INTERPRETACIÓN EN LO CUANTITATIVO)

Para el conjunto de datos siguiente, construye la tabla de frecuencia. Considera 10 intervalos.

65   39   32   92   76   54   87   43   54   23   56   34 

45   78   65   23   65   34   56   87   54   68   87   56

42   48   54   87   65   51   40   46   65   60   28   55  

50   30   75   75   72   35   52   50   40   53   40   30

45   60   40   92   91   41   75   38   42   56   38   54  

45   52   65   47   50   50   50   48   51   60   61   58

40   60   46   70   30   60   23   85   85   84   53   80 

52   48   75   86   85   82   45   57   65   53   26   58  

65   70   60   70   30   25   75   65   60   66   63   60 

60   92   38   45   60   78   73   57   70   55   53   60

PRIMEROS PASOS:

Primero se obtiene el RANGO

Los datos son no agrupados y aunmentan de uno en unno, por lo cual la VARIACIÓN es igual a 1

Como se debe distribuir en 10 intervalos, se determina ahora el tamaño que tendrá cada intervalo

¡HAGANLO Y ÉXITO!

Les veo mañana miércoles, no olviden sus artículos. Gracias por la comprensión, y una disculpa por no asistir hoy. Pero aqui está el tema.

Desde el Ombligo de la Luna

KL